[题目]如图.点.在抛物线上.且在该抛物线对称轴的同侧(点在点的左侧).过点.分别作轴的垂线.分别交轴于点..交直线于点.．设为四边形的面积．则下列关系正确的是( )A. S=y2+y1 B. S=y2+2y1 C. S=y2-y1 D. S=y2-2y1 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，点，在抛物线上，且在该抛物线对称轴的同侧（点在点的左侧），过点、分别作轴的垂线，分别交轴于点、，交直线于点、．设为四边形的面积．则下列关系正确的是( )

A. S=y2+y1 B. S=y2+2y1 C. S=y2-y1 D. S=y2-2y1

【答案】C

【解析】

首先根据题意可求得：y1，y2的值，A与C的坐标，即可用x1与x2表示出AB，CD，BD的值，易得四边形ABCD是直角梯形，即可得S=（AB+CD）BD，然后代入其取值，整理变形，即可求得S与y1、y2的数量关系式.

解：根据题意得：y1=ax12+bx1+c，y2=ax22+bx2+c，

点A的坐标为：（x1，2ax1+b），点C的坐标为：（x2，2ax2+b），

∴AB=2ax1+b，CD=2ax2+b，BD=x2-x1，

∵EB⊥BD，CD⊥BD，

∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是直角梯形，

∴S=（AB+CD）BD=（2ax1+b+2ax2+b）（x2-x1）=a（x2+x1）（x2-x1）+b（x2-x1）=（ax22+bx2）-（ax12+bx1）=（ax22+bx2+c）-（ax12+bx1+c）=y2-y1．

即S=y2-y1．

故选：C.

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（1）求证：△ACF∽△DAE；

（2）若S△AOC=，求DE的长；

（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．

【答案】(1) 见解析; (2)3 ;(3)见解析.

【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得到∠BAC=90°，根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据S△AOC=，得到S△ACF=，通过△ACF∽△DAE，求得S△DAE=，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面积公式列方程即可得到结论；

（3）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等腰三角形的性质得到∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论．

试题解析：（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=60°

∵OA=OC，∴∠AOC=60°，∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF=90°，∴∠AFC=30°，∵DE是⊙O的切线，∴∠DBC=90°，∴∠D=∠AFC=30，∵∠DAE=ACF=120°，∴△ACF∽△DAE；

（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，∴∠CAF=30°，∴∠CAF=∠AFC，∴AC=CF，∴OC=CF，∵S△AOC=，∴S△ACF=，∵∠ABC=∠AFC=30°，∴AB=AF，∵AB=BD，∴AF=BD，∴∠BAE=∠BEA=30°，∴AB=BE=AF，∴，∵△ACF∽△DAE，∴=，∴S△DAE=，过A作AH⊥DE于H，∴AH=DH=DE，∴S△ADE=DEAH=×=，∴DE=；

（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，∴∠OEB=∠AFO，在△AOF与△BOE中，∵∠OBE=∠OAF，∠OEB=∠AFO，OA=OB，∴△AOF≌△BEO，∴OE=OF，∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，∴∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，∴∠OAF=∠OGF=90°，在△AOF与△OGF中，∵∠OAF=∠OGF，∠AFO=∠GFO，OF=OF，∴△AOF≌△GOF，∴OG=OA，∴EF是⊙O的切线．