Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且四边形EFGH也是正方形，设AE=x，正方形EFGH的面积为S．

（1）求证：△AEH≌△BFE；

（2）求S与x之间的函数关系式．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；正方形的性质．

【分析】（1）利用正方形的性质，用AAS证明△AEH≌△BFE；

（2）利用△AEH≌△BFE，得到BF=AE=x，利用勾股定理，在Rt△BFE中，EF²=BF²+BE²=x²+（1﹣x）²，所以S=EF²=x²+（1﹣x）²=2x²﹣2x+1．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，四边形EFGH也是正方形，

∴∠A=∠B=∠HEF=90°，EH=FE，

∴∠AEH+∠AHE=90°，∠AEH+∠BEF=90°，

∴∠AHE=∠BEF，

在△AEH和△BFE中，

，

∴△AEH≌△BFE．

（2）∵△AEH≌△BFE，

∴BF=AE=x，（0＜x＜1）

在Rt△BFE中，EF²=BF²+BE²=x²+（1﹣x）²，

∴S=EF²=x²+（1﹣x）²=2x²﹣2x+1，（0＜x＜1）

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明）△AEH≌△BFE．