Question

9．如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，则有BE=CD；
（1）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；
（2）运用图（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：
如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长（结果保留根号）．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABD与三角形ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为60°，利用等式的性质得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE．
（2）在AB的外侧作AD⊥AB，使AD=AB，连结CD，BD，就可以得出△ADC≌△ABE，就有CD=BE，在Rt△CDB中由勾股定理就可以求出CD的值，进而得出结论．

解答 解：（1）BE=DC，理由如下：
∵△ABD和△ACE都为等腰直角三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS）
∴BE=DC，
（2）在AB的外侧作AD⊥AB，使AD=AB，连结CD，BD，

∴∠DAB=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠ABC=45°+45°=90°，
即∠DBC=90°．
∴∠CAE=90°，
∴∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE．
∵AB=100m，在直角△ABD中，由勾股定理，得
BD=100$\sqrt{2}$．
∴CD=$\sqrt{（100）^{2}+（100\sqrt{2}）^{2}}$=100$\sqrt{3}$，
∴BE=CD=100$\sqrt{3}$，
答：BE的长为100$\sqrt{3}$米

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，本题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系是解决问题的关键．