Question

5．数学课外选修课上李老师拿来一道问题让同学们思考．原问题：如图1，已知△ABC，在直线BC两侧，分别画出两个等腰三角形△DBC，△EBC使其面积与△ABC面积相等；（要求：所画的两个三角形一个以BC为底．一个以BC为腰）；

小伟是这样思考的：我们学习过如何构造三角形与已知三角形面积相等．如图2，过点A作直线l∥BC，点D、E在直线l上时，S_△ABC=S_△DBC=S_△EBC，如图3，直线l∥BC，直线l到BC的距离等于点A到BC的距离，点D、E、F在直线l上，则S_△ABC=S_△DBC=S_△EBC=S_△FBC．利用此方法也可以计算相关三角形面积，通过做平行线，将问题转化，从而解决问题．
（1）请你在备用图中，解决李老师提出的原问题；
参考小伟同学的想法，解答问题：
（2）如图4，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，若每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积为3$\sqrt{3}$．
（3）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，A（-1，0），B（0，2），D是直线l：y=$\frac{1}{2}$x+3上一点，使△ABO与△ABD面积相等，则D的坐标为（2，4）（-$\frac{2}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

Answer 1

分析 （1）如图1，如图2过点A、E分别作直线L∥BC，点D、E在直线l上时，S_△ABC=S_△DBC=S_△EBC，且BD=BC，BE=CE，于是△BCD，△BCE即为所求；
（2）如图4由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，所以得到BB′∥AC，得到△ACB与△ACB′的面积相等，求出△ACB′的面积即得到结果；
（3）由于△ABO与△ABD面积相等，则两三角形同底，所以先求出与直线AB平行且到AB的距离等于点O到AB的距离的两条直线y=2x和y=2x+4，然后分别把它们与一次函数的解析式组成方程组，再解方程组即可得到D点坐标．

解答 （1）如图1，过点A作直线L∥BC，以B为圆心，BC的长为 半径画弧交直线L于一点D，

如图2，过点E作直线L∥BC且点E到BC的距离等于点A到BC的距离，连接BE，CE，

则△BCD，△BCE即为求出；

（2）如图4，连接BB′，CB′过点C作CD⊥AB′于D，

则BB′∥AC，
∴S_△ABC=S_△ACB′，
∵AB′=4，CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=S_△AB′C=$\frac{1}{2}•4•\frac{3\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$；
故答案为：3$\sqrt{3}$；

（3）设直线AB点解析式为；y=kx+b，
把A（-1，0），B（0，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=-k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB点解析式为；y=2x+2，
∵使△ABO与△ABD面积相等，
∴点D在与直线AB平行且到AB的距离等于点O到AB的距离的两条直线上，
∴过O点与直线AB平行的直线的解析式为：y=2x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴D（2，4），
把直线y=2x向上平移4个单位得：y=2x+4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y=\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴D（-$\frac{2}{3}$，$\frac{8}{3}$），
故答案为：（2，4）（-$\frac{2}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查了同底等高的三角形的面积的关系，正多边形的性质，一次函数与一次函数的交点问题：求一次函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．