Question

4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧$\widehat{AC}$的长（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，进而可得∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B可得∠CAE+∠BAC=90°，从而可得直线AE是⊙O的切线；
（2）连接CO，计算出AO长，再利用圆周角定理可得∠AOC的度数，然后利用弧长公式可得答案．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠EAC=∠B，
∴∠CAE+∠BAC=90°，
即 BA⊥AE．
∴AE是⊙O的切线．

（2）连接CO，
∵AB=6，
∴AO=3，
∵∠D=60°，
∴∠AOC=120°，
∴$\widehat{AC}$=$\frac{120•π•3}{180}$=2π．

点评 此题主要考查了切线的判定和弧长计算，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．弧长公式：l=$\frac{nπR}{180}$（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．