Question

8．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙O与BC边的切点，作MD∥AC，交⊙O于点D．
（1）证明：PD是⊙O的切线．
（2）如果AB=AC=5，sin∠B=$\frac{3}{5}$，求OC的长．

Answer 1

分析 （1）连接AM，根据⊙O是△ABC的内切圆，且AB=AC可得A、O、M 三点共线，AM⊥BC．再由CP是∠ACB的平分线得出∠ACP=∠BCP．设∠BCP=α，由直角三角形的性质可知∠COM=90°-α．∠AOP=∠COM=90°-α．设AB切⊙O于F，连接OF，则OF⊥AB．故∠BAM=90°-2α，根据DM∥AC可用α表示出∠DOM的度数，连接OD，由三角形内角和定理可得出∠POD=90°-3α，故∠FOP=∠DOP．根据SAS定理可得出△FOP≌△DOP，由此可得出结论；
（2）在直角三角形ABM中，sin∠B=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{3}{5}$可得出AM及BM的长，由三角形的面积公式可得出OM的长，由勾股定理可求出OC的长．

解答 （1）证明：方法一：如图1，连接AM．
∵⊙O是△ABC的内切圆，且AB=AC，
∴A、O、M 三点共线，AM⊥BC．
又∵CP是∠ACB的平分线，
∴∠ACP=∠BCP．               
设∠BCP=α，则∠COM=90°-α．
∴∠AOP=∠COM=90°-α．
设AB切⊙O于F，连接OF，则OF⊥AB．
又∠BAM=90°-2α，
∴∠AOF=2α．
∴∠FOP=90°-3α． 
又∵DM∥AC，
∴∠DMB=∠ACB=2α．
∴∠DOM=180°-2×（90°-2α）=4α．
连接OD，则∠POD=180°-4α-（90°-α）=90°-3α．
∴∠FOP=∠DOP．
在△FOP与△DOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OD}\\{∠FOP=∠DOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$
∴△FOP≌△DOP（SAS）．
∴∠PDO=∠PFO=90°．
∴OD⊥PD．
∴PD为⊙O的切线．      
方法二：过点P作⊙O的切线PE（切点为E）并延长，交BC于点N．
∵CP为∠ACB的平分线，
∴∠ACP=∠BCP．
又∵PA、PE均为⊙O的切线，
∴∠APC=∠NPC．
在△ACP与△NCP中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ACP=∠BCP\\∠APC=∠NPC\\ CP=CP\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△NCP（AAS），
∴∠PAC=∠PNC．
∵NM=NE，AB=AC，
∴$\frac{NE}{BA}=\frac{NM}{AC}$．
∴△ENM∽△BAC．
∴∠NME=∠BCA．
∴ME∥AC．
又∵MD∥AC，
∴MD和ME为同一条直线．
又点E、D均在⊙O上，所以点E和点D重合，故PD是⊙O的切线．

（2）∵在直角三角形ABM中，sin∠B=$\frac{AM}{AB}=\frac{3}{5}$，AB=5，
∴AM=3．
∴BM=4．
∴BC=2BM=8．
由△ABC面积，得$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$OM•（AB+BC+CA）．
即$\frac{1}{2}$×8×3=$\frac{1}{2}$×ON×（5+8+5）．
解得OM=$\frac{4}{3}$．                
∴OC=$\sqrt{O{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、切线的性质及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．