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如图,半圆O的直径AB=4,⊙O1与半圆O内切且与AB切于点C,设⊙O1的半径为y,AC=x,
(1)请求出y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围;
(2)求出函数的最大值,并在所给平面直角坐标中画出函数的大致图象.
分析:(1)连接OO1,连接O1C,由圆O1与半圆O内切,根据两圆内切的性质得到圆心距等于两半径相减,表示出OO1,再由圆O1与AB相切,根据切线的性质得到O1C垂直于AB,且O1C为圆O1的半径y,再由OA-AC表示出OC的长,在直角三角形OO1C中,根据勾股定理列出关系式,化简后即可得到y与x的函数解析式,根据AC小于直径AB得出x的范围;
(2)根据二次函数求最值的方法,由a小于0,得到二次函数有最大值,故当x等于顶点横坐标时,y的最大值为顶点的纵坐标,并令y=0得出关于x的方程,求出方程的解得到抛物线与x轴的交点坐标,再求出抛物线的对称轴,在平面直角坐标系中画出抛物线的图象即可.
解答:
解:(1)连接OO1,连接O1C,
∵圆O1与半圆O内切,半圆O的半径为2,圆O1的半径为y,
∴OO1=2-y,
又半圆O与AB切于点C,
∴O1C⊥OA,O1C=y,
又AC=x,则OC=OA-AC=2-x,
在直角三角形O1OC中,根据勾股定理得:OO12=O1C2+OC2
即(2-y)2=y2+(2-x)2
则y=-
1
4
x2+x(0<x<4);
(2)二次函数y=-
1
4
x2+x,
当x=-
b
2a
=-
1
2×(-
1
4
)
=2时,ymax=-
1
4
×22+2=1,
令y=0,得到-
1
4
x2+x=0,解得:x=0或x=4,
∴抛物线与x轴交于(0,0)及(4,0),对称轴为直线x=2,
作出二次函数的图象,如图所示.
点评:此题考查了相切两圆的性质,切线的性质,以及二次函数的图象与性质,两圆相切有两种情况:两圆内切时,其圆心距等于两半径相减;两圆外切时,圆心距等于两半径相加,直线与圆相切时,切线垂直于过切点的半径,熟练掌握这些性质是解本题的关键.
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精英家教网如图,半圆O的直径AD=12cm,AB,BC,CD分别与半圆O切于点A,E,D.
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(2)如果CD=6,判断四边形ABCD的形状;
(3)如果AB=4,求图中阴影部分的面积.

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(1)求E点在圆弧上的运动速度(即每秒走过的弧长),结果保留π.
(2)设点C始终为
AE
的中点,过C作CD⊥AB于D,AE交CD、CB分别于G、F,过F作F精英家教网N∥CD,过C作圆的切线交FN于N.
求证:①CN∥AE;
②四边形CGFN为菱形;
③是否存在这样的t值,使BE2=CF•CB?若存在,求t值;若不存在,说明理由.

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如图,半圆O的直径AB=20,将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′,与AB交于点P.
(1)求AP的长.
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π).

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