Question

6．如图，一块直径为10厘米（即AB=10厘米）的量角器，若将量角器与∠MPN，按如图1所示叠放（A与P重合，AB与PM重合），并已知点B，C，A处的读数分别为0，36.5°，
180°；（可用计算器，结果精确到0.01）．
﹙1﹚∠MPN的度数是18.25 度．
﹙2﹚求线段PC的长；
（3）在图1的状态下，∠MPN不动，量角器沿着射线AB向右平移（如图2），问平移多少厘米后半圆量角器与PN相切于D，则切点D读数是多少？

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理求出即可；
（2）根据切线的性质求出∠ACB=90°，解直角三角形求出PC即可；
（3）解直角三角形求出OP，即可求出PA，根据邻补角定义求出∠BOD即可．

解答 解：（1）∵已知点B，C，A处的读数分别为0，36.5°，180°，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$×36.5°=18.25°，
故答案为：18.25；

（2）连接BC，如图1，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴$cos{18.25°}=\frac{PC}{AB}$，
PC=10×cos18.25°=10×0.95=9.5（cm）；

﹙3﹚∵PN与圆切于D，连接OD，如图2，
则OD⊥PN，
∵在Rt△PDO中，sin18.25°=$\frac{5}{OP}$，
∴OP=$\frac{5}{{sin{{18.25}°}}}=\frac{5}{0.313}≈15.97$，
∴PA=15.97-5=10.97，
∵∠BOD=90°+18.25°=108.25°，
∴切点D读数是108.25°，
所以平移大约10.97厘米后半圆量角器与PN相切于D，则切点D读数是108.25°．

点评 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，切线的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，注意：直径所对的圆周角是直角，圆的切线垂直于过切点的半径，有一定的难度．