Question

8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AF的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长CE交AD于H
（1）求证：H为三角形ADE的外心；
（2）若cos∠C=$\frac{4}{5}$，DF=9，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，设△AHE与△DBC的面积分别为S₁，S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，DE=EC，根据垂径定理的推论，可证得AB⊥CD，又由EG⊥BC，易证得∠CDA=∠DEH，即可得HD=EH，继而可证得AH=EH，则可证得结论；
（2）由AB为⊙O的直径，可得∠BDF=90°，由BF是切线，可得∠DBF=∠C，然后由三角函数的性质，求得BD的长，继而求得答案；
（3）根据题意得出DE，BE，EC的长，再利用三角形面积公式求出即可．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，DE=EC，
∴AB⊥CD，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵EG⊥BC，
∴∠C+∠CEG=90°，
∴∠CBE=∠CEG，
∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH，
∴∠CDA=∠DEH，
∴HD=EH，
∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°，
∴AH=EH，
∴AH=HD，
又∵∠AED=90°，
∴H为三角形ADE的外心；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠DBF=∠C，
∵cos∠C=$\frac{4}{5}$，DF=9，
∴tan∠DBF=$\frac{3}{4}$，
∴BD=$\frac{DF}{tan∠DBF}$=12，
∵∠A=∠C，
∴sin∠A=$\frac{3}{5}$，
∴AB=$\frac{BD}{sinA}$=20，
∴⊙O的半径为10；

（3）解：∵BD=12，AB=20，∴AD=16，
则DE×AB=BD×AD，
即DE=$\frac{12×16}{20}$=$\frac{48}{5}$，
∵DE²=BE×AE，
∴（$\frac{48}{5}$）²=BE（20-BE），
解得：BE₁=12.8（不合题意舍去），BE₂=7.2，
∵△AHE与△DBC的面积分别为S₁，S₂，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×AE×DE=$\frac{1}{4}$×12.8×$\frac{48}{5}$，
S₂=$\frac{1}{2}$×DC×BE=$\frac{1}{2}$×$\frac{48}{5}$×2×7.2，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}×12.8×\frac{48}{5}}{\frac{1}{2}×\frac{48}{5}×2×7.2}$=$\frac{4}{9}$．

点评 此题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、弦切角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．