Question

1．如图所示，A（8，0），B点在第一象限，且△AOB是等边三角形，过B点作直线BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从C点出发，以每秒1个单位的速度向C点右侧水平方向平移，过P点作DE∥y轴，交直线AB于D，交直线OB于点E，设P点出发的时间为t秒．
（1）若P点在线段BC上，Q点在AB上，且AQ=3，当∠OQP=60°时，求t的值．
（2）点M为y轴上一动点，若△MDE是等腰直角三角形，求出发时间t的值．

Answer 1

分析 （1）作FG⊥OA于点G，作QH⊥OA于点H，利用三角函数求的Q的坐标，则OQ即可求得，证明△OBQ∽△OQF，即可求得OF的长，进而利用三角函数求得F的坐标，利用待定系数法求得FQ的解析式，P的纵坐标是等边△OAB的高长，即可求得P的横坐标，从而求得t的值；
（2）求得AD和OB的解析式，即可利用t表示出DE的长，然后分当D或E是等腰直角三角形的直角顶点和M是等腰直角三角形的直角顶点两种情况进行讨论，求得t的值．

解答 解：（1）作FG⊥OA于点G，作QH⊥OA于点H．
∵△OAB是等边三角形，
∴∠BOA=∠OBA=∠OAB=60°，
在直角△AQH中，QH=AQ•sin∠OAB=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AH=AQ•cos∠OAB=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
∴OH=OA-AH=8-$\frac{3}{2}$=$\frac{13}{2}$，Q的坐标是（$\frac{13}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
∴在直角△OQH中，OQ=$\sqrt{O{H}^{2}+Q{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{13}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=7．
∵∠OBA=∠OQP=60°，∠BOQ=∠QOF，
∴△OBQ∽△OQF，
∴$\frac{OF}{OQ}$=$\frac{OQ}{OB}$，即$\frac{OF}{7}$=$\frac{7}{8}$，
解得：OF=$\frac{49}{8}$．
在直角△OFG中，FG=OF•sin∠AOB=$\frac{49}{8}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{49\sqrt{3}}{16}$，
OG=OF•cos∠AOB=$\frac{49}{8}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{49}{16}$．
则F的坐标是（$\frac{49}{16}$，$\frac{49\sqrt{3}}{16}$）．
设直线PQ的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{13}{2}k+b=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{49}{16}k+b=\frac{49\sqrt{3}}{16}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{25\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{167\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
则直线PQ的解析式是y=-$\frac{25\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{167\sqrt{3}}{3}$．
B的纵坐标是：8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
在y=-$\frac{25\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{167\sqrt{3}}{3}$令y=4$\sqrt{3}$，
解得：．x=$\frac{31}{5}$．
则t=$\frac{31}{5}$；
（2）直线OB的解析式是y=$\sqrt{3}$x，
AB的解析式是：y=-$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$，
则当x=t时，PE=（-$\sqrt{3}$t+8$\sqrt{3}$）-$\sqrt{3}$t=8$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t．
当D或E是等腰直角三角形的直角顶点时，t=8$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，解得：t=$\frac{48+8\sqrt{3}}{11}$．
当M是等腰直角三角形的直角顶点时，t=$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t），
解得：t=6-2$\sqrt{3}$．

点评 本题是三角函数、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及待定系数法求函数的解析式的综合应用，正确求得F的坐标是关键．