Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）由于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可．
（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答．

解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax²+bx+3（a≠0），
根据题意，得

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）存在．
由y=-x²+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．
①若以CD为底边，则PD=PC，
设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，
得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，
即y=4-x．
又P点（x，y）在抛物线上，
∴4-x=-x²+2x+3，
即x²-3x+1=0，
解得x₁=

3+ 5

2

，x₂=

3- 5

2

＜1，应舍去，
∴x=

3+ 5

2

，
∴y=4-x=

5- 5

2

，
即点P坐标为(

3+ 5

2

，

5- 5

2

)．
②若以CD为一腰，
∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，
此时点P坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为(

3+ 5

2

，

5- 5

2

)或（2，3）．

（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，
得CB=3

2

，CD=

2

，BD=2

5

，
∴CB²+CD²=BD²=20，
∴∠BCD=90°，
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF=DF=1，
∴∠CDF=45°，
由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3），
∴DM∥BC，
∴四边形BCDM为直角梯形，
由∠BCD=90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．
综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）．

点评：此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．