Question

在锐角△ABC中，AB=8，BC=6，∠ACB=60°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，连接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为12，求△CBC₁的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，则线段EP₁长度的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：（1）由由旋转的性质可得：∠A₁C₁B=∠ACB=60°，BC=BC₁，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC₁A₁的度数；
（2）由△ABC≌△A₁BC₁，易证得△ABA₁∽△CBC₁，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC₁的面积；
（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，即可求得线段EP₁长度的最大值与最小值．

解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A₁C₁B=∠ACB=60°，BC=BC₁，
∴∠CC₁B=∠C₁CB=60°，
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=60°+60°=120°．

（2）∵△ABC≌△A₁BC₁，
∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，
∴

BA

BC

=

BA1

BC1

，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，
∴∠ABA₁=∠CBC₁，
∴△ABA₁∽△CBC₁．
∴

A△ABA1

S△CBC1

=（

AB

BC

）²=（

8

6

）²=

16

9

，
∵S_△ABA1=12，
∴S_△CBC1=

27

4

；

（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin60°=6×

3

2

=3

3

，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值为：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=3

3

-4；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值为：EP₁=BC+BE=6+4=10．
故答案是：3

3

-4；10．

点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．