Question

14．如图，已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连结DE．
（1）猜想DE是⊙O的切线吗？并证明你的结论；
（2）若∠C=40°，AD=6，求⊙O的半径．（精确到0.01）

Answer 1

分析 （1）只要证∠EDO=90°，即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据直角三角形两锐角互余得∠A=50°，根据cosA=$\frac{AD}{AB}$，即可求得⊙O的半径．

解答 （1）证明：如图1，连接OD、DB；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°．
∵E为BC边上的中点，
∴CE=EB=DE，
∴∠1=∠2．
∵OB=OD，
∴∠3=∠4．
∴∠1+∠4=∠2+∠3．
∵在Rt△ABC中，∠ABC=∠2+∠3=90°，
∴∠EDO=∠1+∠4=90°．
∵D为⊙O上的点，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ABC=90°，∠C=40°，
∴∠A=50°，
∵cosA=$\frac{AD}{AB}$，
∴AB=$\frac{AD}{cos50°}$=$\frac{6}{cos50°}$≈9.334，
∴⊙O的半径为4.67．

点评 主要考查了切线的判定方法和解直角三角函数．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．