Question

16．如图（1），△ABC为等边三角形，动点D在直线CA上，动点P直线BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动．

（1）若D，P分别在边CA和边BC上运动时，连接AP，BD交于点Q请直接写出AP与BD的数量关系．
（2）若动点D，P在CA和BC的延长线上运动，其他条件不变，请你利用图（2）求∠BQP的度数；
（3）若动点P从B点出发在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE与PE有什么数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由△ABC为等边三角形，可得∠C=∠ABP=60°，AB=BC，又由这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，可得BP=CD，即可利用SAS，判定△ABP≌△BCD，继而证得结论；
（2）同理可证得△ABP≌△BCD（SAS），则可得∠APB=∠BDC，然后由∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，求得∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°；
（3）首先过点D作DG∥AB交BC于点G，则可证得△DCG为等边三角形，继而证得△DGE≌△PBE（AAS），则可证得结论．

解答 解：（1）AP=BD．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠ABP=60°，AB=BC，
根据题意得：CD=BP，
在△ABP和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠C}\\{BP=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴AP=BD；

（2）根据题意，CP=AD，
∴CP+BC=AD+AC，
即BP=CD，
在△ABP和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠BCP}\\{BP=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠APB=∠BDC，
∵∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，
∴∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°；

（3）DE=PE．
理由：过点D作DG∥AB交BC于点G，
∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，∠GDE=∠BPE，
∴△DCG为等边三角形，
∴DG=CD=BP，
在△DGE和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEG=∠PEB}\\{∠GDE=∠BPE}\\{DG=PB}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△PBE（AAS），
∴DE=PE．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，