Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（2，3），过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且tan∠CAO= ．
（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；
（2）联结AB、BC，求∠ABC的正切值；
（3）若点D在x轴下方的对称轴上，当S△DBC=S△ADC时，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（3，0）和点B（2，3）代入y=﹣x2+bx+c得到 ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

对称轴x=1

（2）解：如图，作BE⊥OA于E．

∵A（3，0），B（2，3），tan∠CAO= ，

∴OC=1，

∴BE=OA=3，AE=OC=1，∵AEB=∠AOC，

∴△AOC≌△BEA，

∴AC=AB，∠CAO=∠BAE，

∵∠ABE+∠BAE=90°，

∴∠CAO+∠BAE=90°，

∴∠CAB=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∴tan∠ABC=1

（3）解：如图过点C作CD∥AB交对称轴于D，

则S△DBC=S△ADC，

∵AB⊥AC，AB∥CD，

∴AC⊥CD，

∵直线AC的解析式为y= x﹣1，

∴直线CD的解析式为y=﹣3x﹣1，当x=1时，y=﹣4，

∴点D的坐标为（1，﹣4）．

【解析】（1）把A（3，0）和点B（2，3）代入y=﹣x2+bx+c，解方程组即可解决问题．（2）如图，作BE⊥OA于E．只要证明△AOC≌△BEA，推出△ABC是等腰直角三角形，即可解决问题．（3）如图过点C作CD∥AB交对称轴于D，则S△DBC=S△ADC ， 先求出直线AC的解析式，再求出直线CD的解析式即可解决问题．
【考点精析】通过灵活运用抛物线与坐标轴的交点和解直角三角形，掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题．