【题目】如图,AB、CD为 O的直径,弦AE//CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使
PED=
C.
(1)求证:PE是 O的切线;
(2)求证:ED平分 BEP;
(3)若 O的半径为5,CF=2EF,求PD的长.
【答案】
(1)
证明:如图,连接OE.
∵CD是圆O的直径,
∴∠CED=90°.
∵OC=OE,
∴∠1=∠2.
又∵∠PED=∠C,即∠PED=∠1,
∴∠PED=∠2,
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°,即∠OEP=90°,
∴OE⊥EP,
又∵点E在圆上,
∴PE是⊙O的切线;
(2)
证明:∵AB、CD为⊙O的直径,
∴∠AEB=∠CED=90°,
∴∠3=∠4(同角的余角相等).
又∵∠PED=∠1,AE//CD,
∴∠PED=∠1=∠3=∠4,
即ED平分∠BEP.
(3)
解:设EF=x,则CF=2x,
∵⊙O的半径为5,
∴OF=2x-5,
在RT△OEF中,OE2=OF2+EF2,即52=x2+(2x-5)2,
解得x=4,
∴EF=4,
∴BE=2EF=8,CF=2EF=8,
∴DF=CD-CF=10-8=2,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∵AB=10,BE=8,
∴AE=6,
∵∠BEP=2∠4=2∠1=∠A,∠EFP=∠AEB=90°,
∴△AEB∽△EFP,
∴=
,即
=
,
∴PF=,
∴PD=PF-DF=-2=
.
【解析】(1)连接OE.要证明PE是 ⊙ O的切线,则要证明∠OEP=∠CED=90°,则需要证明 ∠PED=∠2,而∠1=∠2.∠PED=∠1,可证得;
(2)根据同角的余角相等,可得∠3=∠4,又由∠PED=∠1,AE//CD,可得∠PED=∠1=∠3=∠4,即可证得;
(3)设EF=x,则CF=2x,根据勾股定理OE2=OF2+EF2 , 求出EF,BE,CF,DF;根据∠BEP=2∠4=2∠1=∠A,∠EFP=∠AEB=90°,得到△AEB∽△EFP,从而根据相似三角形的性质求得PF,则PD=PF-DF.
【考点精析】关于本题考查的切线的判定定理和相似三角形的判定与性质,需要了解切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案.
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【题目】下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况,这一周的上周末的水位已达到警戒水位米(正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降).
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
水位 变化(米) | +0.2 | -0.4 | +0.3 |
(1)本周哪一天长江的水位最高?位于警戒水位之上还是之下?
(2)与上周周末相比,本周周末长江的水位是上升了还是下降了?并通过计算说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3,0)和点B(2,3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO= .
(1)求这条抛物线的表达式及对称轴;
(2)联结AB、BC,求∠ABC的正切值;
(3)若点D在x轴下方的对称轴上,当S△DBC=S△ADC时,求点D的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,将长方形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在处,
交AD于点E.
(1)试判断△BDE的形状,并说明理由;
(2)若,
,求△BDE的面积.
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【题目】若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,抛物线C1:y1=﹣2x2+4x+2与C2:y2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”.
(1)求抛物线C2的解析式.
(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点,过A作AQ⊥x轴,Q为垂足,求AQ+OQ的最大值.
(3)设抛物线C2的顶点为C,点B的坐标为(﹣1,4),问在C2的对称轴上是否存在点M,使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′,且点B′恰好落在抛物线C2上?若存在求出点M的坐标,不存在说明理由.
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【题目】如图,△ABC中,BE平分∠ABC交AC边于点E,
(1)如图1,过点E作DE∥BC交AB于点D,求证:△BDE为等腰三角形;
(2)如图2,延长BE到D,∠ADB =∠ABC, AF⊥BD于F,AD=2,BF=3,求DF的长
(3)如图3,若AB=AC,AF⊥BD,∠ACD=∠ABC,判断BF、CD、DF的数量关系,并说明理由.
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