Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2x+m（m＞0）的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，抛物线的图象与y轴交于点C，且OC=3OB．

（1）求点A的坐标；
（2）求直线AC的表达式；
（3）点E是直线AC上一动点，点F在x轴上方的平面内，且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形，直接写出点F的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可知二次函数图象的对称轴是直线x=1，反比例函数解析式是y= ，

把x=1代入y= ，得y=5，

∴点A的坐标为（1，5）；

（2）

解：由题意可得点B的坐标为（1，0），

∵OC=3OB，

∴OC=3，

∵m＞0，

∴m=3，

可设直线AC的表达式是y=kx+3，

∵点A在直线AC上，

∴k=2，

∴直线AC的表达式是y=2x+3；

（3）

解：当AB、BE为菱形的边时，如图1，

设E（x，2x+3），则BE= ，

∵四边形ABEF为菱形，

∴AB=BE=5，

∴ =5，解得x=1（E、A重合，舍去）或x=﹣3，

此时E（﹣3，﹣3），

∵EF∥AB且EF=AB，

∴F（﹣3，2），

当AB、AE为边时，则AE=AB=5，

同理可求得AE= ，

∴ =5，解得x=1﹣ （此时F点在第三象限，舍去）或x=1+ ，

∴E（1+ ，5+2 ），

∵EF∥AB且EF=AB，

∴F（1+ ，2 ）；

当AB为对角线时，如图2，

则EF过AB的中点，

∵A（1，5），B（1，0），

∴AB的中点为（1， ），

∵EF⊥AB，

∴EF∥x轴，

∴E点纵坐标为 ，代入y=2x+3可得 =2x+3，解得x=﹣ ，

∴E（﹣ ， ），

∴F（ ， ）；

综上可知F点的坐标为（﹣3，2）或（1+ ，2 ）或（ ， ）

【解析】（1）可求得抛物线对称轴方程和反比例函数解析式，则可求得A点坐标；（2）可求得B点坐标，再由OC=3OB可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的表达式；（3）当AB为菱形的边时，则BE=AB或AE=AB，设出E点坐标，可表示出BE的长，可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，由AB∥EF，则可求得F点的坐标；当AB为对角线时，则EF被AB垂直平分，则可求得E的纵坐标，从而可求得E点坐标，利用对称性可求得F点的坐标．