Question

如图1，已知⊙O的半径为

3

，正方形ABCD的顶点B的坐标为（2，0），顶点A在⊙O上运动，顶点C在x轴上方．
（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；
（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与⊙O相切的位置关系？若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）如图2，当点A运动到第二象限时，设AB交⊙O于点P，当sin∠CBX=

3

4

时，求弦AP的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用A点在y轴右侧或左侧分别分析得出即可；
（2）利用已知C点在x轴上方，符合题意的只有一种情况，再利用锐角三角函数关系求出FO、FC的长进而得出答案；
（3）利用sin∠CBX=

3

4

，得出sin∠MOB=

3

4

，进而求出OM，MP的长，进而得出答案．

解答：解：（1）如图1，∵⊙O的半径为

3

，正方形ABCD的顶点B的坐标为（2，0），
∴当点A在x轴上时，BO=2，BC=2-

3

，
∴点C（2，2-

3

）
如图2，∵⊙O的半径为

3

，正方形ABCD的顶点B的坐标为（2，0），
∴当点A在x轴上时，BO=2，AB=BC=2+

3

，
∴点C（2，2+

3

）
综上所述：C（2，2-

3

）或（2，2+

3

）；

（2）如图3，

当直线AB与⊙O相切于点A，过点A作AE⊥OB于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
则∠OAB=90°，
∵BO=2，AO=

3

，
∴AB=1，
∴∠AOE=30°，
∴AE=

3

2

，
∴BE=

1

2

，
∴∠ABE=60°，
∴∠CBF=30°，
∴FC=

1

2

，BF=

3

2

，
∴FO=2+

3

2

，
∴C （2+

3

2

，

1

2

）；

（3）如图4，

作OM⊥AB于M，连结OP．
∵OM∥BC，
∴∠MOB=∠CBx．
又∵sin∠CBx=

3

4

，
∴sin∠MOB=

3

4

．
∵OB=2，
∴BM=

3

2

，
∴OM=

OB2-BM2

=

7

2

．
又∵OP=

3

，
∴MP=

OP2-OM2

=

5

2

，
∴AP=2MP=

5

．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，动态问题，综合性较强，凸现对学生的运动探究、问题解决能力的考查．问题简洁且清新扑面，消除学生解最后一题的恐惧心理．增加学生的参与面，能力立意，全新创作，揭示数学学习的本质，不必搞题海战术．