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【题目】如图,点A,B,C,D,E,F,G,H为⊙O的八等分点,ADBH的交点为I,若⊙O的半径为1,则HI的长等于(  )

A. 2﹣ B. 2+ C. 2 D.

【答案】D

【解析】

连接ABOH,作OMADMONBHN,在IH上截取NK,使得ON=NK,连接OK.根据圆周角定理求出∠A=B=45°,H=22.5°,根据弧、弦、圆心角的关系及垂径定理可证明四边形OMIN是正方形,设OM=a,在RtONH中,利用勾股定理列方程求出a的值,进而可求出HI的值.

如图,连接ABOH,作OMADMONBHN,在IH上截取NK,使得ON=NK,连接OK

∵点ABCDEFGH为⊙O的八等分点,

∴∠A=B==45°,H==22.5°,

∴∠AIB=90°,

∴∠MIN=OMI=ONI=90°,

∴四边形OMIN是矩形,

=

AD=BH

OM=ON

∴四边形OMIN是正方形,设OM=a

ON=NK

∴∠OKN=45°,

∵∠OKN=H+∠KOH

∴∠H=KOH=22.5°,

OK=KN=a

RtONH中,a2+a+a2=1,

a=

IH=(2+a=

故选:D.

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(2)当1≤t≤6时,经过点M(t﹣1,﹣t2+5t﹣)与点N(﹣t﹣3,﹣t2+3t﹣)的直线交y轴于点F,点P是过M,N两点的抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点.

①当点P在双曲线y=上时,求证:直线MN与双曲线y=没有公共点;

②当抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点,求t的值;

③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时,求t的取值范围,并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积.

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