Question

已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，∠EDF=60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．
（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE=DF．
（2）如图2，若EF与AB不平行． 则问题（1）的结论是否成立？说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据SAS证明△ADE≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得DE=DF；
（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．可证明DM=DN．再分一、当M与E重合时，N就一定与F重合．二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．三种情况讨论即可求解．

解答：解：（1）∵EF∥AB．
∴∠FEC=∠A=30°．
∠EFC=∠B=30°
∴EC=CF．
又∵AC=BC
∴AE=BF
D是AB中点．
∴DB=AD
∴△ADE≌△BDF．
∴DE=DF

（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
又∵∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=（180°-∠ACB）÷2=30°，
∴∠ADM=∠BDN=60°，
∴∠MDN=180°-∠ADM-∠BDN=60°．
∵AC=BC、AD=BD，
∴∠ACD=∠BCD，
∴DM=DN．
由∠MDN=60°、∠EDF=60°，可知：
一、当M与E重合时，N就一定与F重合．此时：
DM=DE、DN=DF，结合证得的DM=DN，得：DE=DF．
二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．此时：
∠EDM=∠EDF-∠MDF=60°-∠MDF，
∠FDN=∠MDN-∠MDF=60°-∠MDF，
∴∠EDM=∠FDN，
又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE=DF．
三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．此时：
∠EDM=∠MDN-∠EDN=60°-∠EDN，
∠FDN=∠EDF-∠EDN=60°-∠EDN，
∴∠EDM=∠FDN，
又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE=DF．
综上一、二、三所述，得：DE=DF．

点评：考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，注意第（2）题分三种情况讨论求解，有一定的难度．