Question

已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连结DC、AE。
（1）求证：△ADE≌△DFC；
（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连结AH。求∠AHE的度数；
（3）若BG=，CH=2，求BC的长。

Answer 1

解：（1）如图，
∵ 线段DB顺时针旋转60°得线段DE，
∴ ∠EDB =60°，DE=DB
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B=∠ACB =60°
∴ ∠EDB =∠B 
∴ EF∥BC
∴ DB=FC，∠ADF=∠AFD =60°
∴ DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC =120°，△ADF是等边三角形。
∴ AD=DF
∴ △ADE≌△DFC

（2）由 △ADE≌△DFC，
得 AE=DC，∠1=∠2
∵ ED∥BC， EH∥DC，
∴ 四边形EHCD是平行四边形。
∴ EH=DC，∠3=∠4
∴ AE=EH
∴ ∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4 =∠ACB=60°
∴ △AEH是等边三角形
∴∠AHE=60°；
（3）设BH=x，则AC= BC =BH+HC= x+2，
由（2）四边形EHCD是平行四边形，
∴ ED=HC
∴ DE=DB=HC=FC=2
∵ EH∥DC，
∴ △BGH∽△BDC
∴即
解得x=1
∴ BC=3。