Question

1．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，D为垂足，BD＜DC，过点A的切线交直径CB的延长线于点P，过点P任作⊙O的割线PEF交⊙O于点E、F，已知AB=2，$\frac{BD}{DC}+\frac{DC}{BD}=\frac{10}{3}$
（1）求sin∠AOD的值；
（2）设DE=x，PF=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）试探索是否存在这样的割线PEF，使得DE=EF？如果存在，求出cos∠OPF的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设$\frac{BD}{CD}$=t，则t+$\frac{1}{t}$=$\frac{10}{3}$，可解得t=$\frac{1}{3}$，则CD=3BD，再证明Rt△ABD∽Rt△CBA，利用相似比得到BD•BC=AB²=4，即BD（BD+3BD）=4，解得BD=1，则BC=BD+CD=4，接着利用勾股定理计算出AD=$\sqrt{3}$，然后根据正弦的定义求解；
（2）连结OF，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，而sin∠AOD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则∠AOD=60°，在Rt△AOP中可计算出PO=2OA=4，所以PD=PO-OD=3，再证明Rt△APD∽Rt△OPA，利用相似比得到PA²=PD•PO，接着根据切割线定理得到PA²=PE•PF，PD•PO=PE•PF，加上∠DPE=∠FPO，则可判断△DPE∽△FPO，利用相似比得$\frac{x}{2}$=$\frac{3}{y}$，所以y=$\frac{6}{x}$（E为切点时，DE=1，则0＜x＜1）；
（3）由DE=EF=x得到PE=PF-EF=y-x，再利用PD•PO=PE•PF得到（y-x）y=3×4=12，加上xy=6，则y²=18，即PF=3$\sqrt{2}$，作FH⊥BC于H，如图，根据勾股定理，在Rt△PFH中得到HF²=PF²-PH²=18-（4-OH）²，在Rt△OFH中得到HF²=OF²-OH²=4-OH²，则18-（4-OH）²=4-OH²，解得OH=$\frac{1}{4}$，则PH=PO-OH=$\frac{15}{4}$，然后根据余弦的定义求cos∠OPF的值．

解答 解（1）设$\frac{BD}{CD}$=t，则t+$\frac{1}{t}$=$\frac{10}{3}$，解得t₁=$\frac{1}{3}$，t₂=3（舍去），
∴CD=3BD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD⊥BC，
∵∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠CBA，
∴Rt△ABD∽Rt△CBA，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$，
∴BD•BC=AB²=4，
即BD（BD+3BD）=4，解得BD=1，
∴BC=BD+CD=1+3=4，
∴OA=2，OD=1，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{O{A}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴sin∠AOD=$\frac{AD}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）连结OF，如图，

∵PA为切线，
∴OA⊥PA，
∴∠PAO=90°，
∵sin∠AOD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOD=60°，
在Rt△AOP中，∵∠APO=30°，
∴PO=2OA=4，
∴PD=PO-OD=3，
∵∠APD=∠OPA，
∴Rt△APD∽Rt△OPA，
∴$\frac{PA}{OP}$=$\frac{PD}{PA}$，即PA²=PD•PO，
∵PA为切线，PEF为割线，
∴PA²=PE•PF，
∴PD•PO=PE•PF，
∴$\frac{PD}{PF}$=$\frac{PE}{PO}$，
而∠DPE=∠FPO，
∴△DPE∽△FPO，
∴$\frac{DE}{OF}$=$\frac{PD}{PF}$，
即$\frac{x}{2}$=$\frac{3}{y}$，
∴y=$\frac{6}{x}$（0＜x＜1）；
（3）存在．
∵DE=EF=x，
∴PE=PF-EF=y-x，
∵PD•PO=PE•PF，
∴（y-x）y=3×4=12，
而xy=6，
∴y²=18，即PF=3$\sqrt{2}$
作FH⊥BC于H，如图，

在Rt△PFH中，HF²=PF²-PH²=18-（4-OH）²，
在Rt△OFH中，HF²=OF²-OH²=4-OH²，
∴18-（4-OH）²=4-OH²，解得OH=$\frac{1}{4}$，
∴PH=PO-OH=$\frac{15}{4}$，
在Rt△PFH中，cos∠HPF=$\frac{PH}{PF}$=$\frac{\frac{15}{4}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
即cos∠OPF=$\frac{PH}{PF}$=$\frac{\frac{15}{4}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质和切割线定理；灵活运用相似三角形的判定与性质；会解直角三角形．