Question

13．如图，P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上一动点，PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，直线l：y=-x+m（m＞0）交x轴、y轴于C、D，交线段PA、PB于E、F，S_矩形PAOB=8．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求DE•CF的值；
（3）将直线l平移，使l经过B点，直线l交x轴于G点，交PA于H点，M是GH的中点，连接PM、OM，在P点运动的过程中，$\frac{PM}{OM}$的值是否改变？如果变化，请说明理由；如果不变，请求其值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得∠OCD=∠ODC=45°，根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，平行于x轴直线上的点的纵坐标相等，可得x_E=x_P，y_F=y_P，根据勾股定理，可得DE、CF的长；
（3）根据直角三角形的性质，可得AM与HM的关系，根据SAS，可得△OAM≌△PHM，根据全等三角形的性质，可得PM与OM的关系．

解答 解：（1）设P点坐标为（x，y），由S_矩形PAOB=xy=8，即k=8，
所以反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$；
（2）当x=0时，y=m，当y=0时，x=m，即OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=45°，
设E横坐标为x_E，F纵坐标为y_F，
则有x_E=x_P，y_F=y_P，
则DE=$\sqrt{2}$x_E，CF=$\sqrt{2}$y_F，
DE•CF=2x_E•y_F=2x_P•y_P=2×8=16
（3）$\frac{PO}{OM}$=1，证明如下：
如图2：连接AM．
，
则等腰直角三角形AHG中，AM=HM$\frac{1}{2}$HG，
在△OAM和△PHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=PH}\\{∠OAM=∠PHM}\\{AM=HM}\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△PHM（SAS），
∴OM=PM，
$\frac{PM}{OM}$=1．

点评 本题考查了反比例函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，平行于x轴直线上的点的纵坐标相等，得出x_E=x_P，y_F=y_P是解题关键；（3）利用直角三角形的性质得出AM与HM的关系，再利用全等三角形的判定与性质．