Question

如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．

（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；

（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．

　

Answer 1

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，P是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．

（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA．

【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB，

∵AB是⊙O的直径且P是的中点，

∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，

又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，

∴PA===．

（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，

∵P点为弧BC的中点，

∴OP⊥BC，∠OMB=90°，

又因为AB为直径

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠OMB，

∴OP∥AC，

∴∠CAB=∠POB，

又因为∠ACB=∠ONP=90°，

∴△ACB∽△0NP

∴=，

又∵AB=13 AC=5 OP=，

代入得 ON=，

∴AN=OA+ON=9

∴在Rt△OPN中，有NP²=0P²﹣ON²=36

在Rt△ANP中 有PA===3

∴PA=3．

【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．