Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为的⊙C与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，且点C在x轴的上方．
（1）求圆心C的坐标；
（2）已知一个二次函数的图象经过点A、B、C，求这二次函数的解析式；
（3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图象上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标．

Answer 1

解：（1）连接AC，过点C作CH⊥AB，垂直为H，
由垂径定理得：AH==2，
则OH=1，
由勾股定理得：CH=4．
又点C在x轴的上方，
∴点C的坐标为（1，4）．

（2）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
由题意，得，
解这个方程组，得，
∴这二次函数的解析式为y=-x²+2x+3．

（3）①当四边形APBM是平行四边形时，过点M作MK⊥x轴，
∴PA=BM，∠AOP=∠BKM=90°，∠OAP=∠KBM，
∴△AOP≌△BKM，
则BK=OA=1，则点M的横坐标为2，
∴y=-4+4+3=3，
∴此时点M的坐标为（2，3）；
②∵当PM∥AB，PM=AB时，四边形APMB是平行四边形，
则设M的坐标为（4，y），则可得y=-16+8+3=-5，
则此时点M的坐标为（4，-5）；
③当四边形ABPM是平行四边形时，
设点M的坐标为（-4，y），
则可得y=-16-8+3=-21，
则此时点M的坐标为（-4，-21）．
∴点M的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）．
分析：（1）根据垂径定理即可求得点C的坐标；
（2）利用待定系数法：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，将点A，B，C的坐标代入二次函数的解析式组成方程组，解方程组即可求得；
（3）分别从四边形APBM、四边形ABMP、四边形ABPM是平行四边形分析，根据平行四边形的性质，即可求得点M的坐标，注意不要漏解．
点评：此题考查了垂径定理、待定系数法求二次函数的解析式、以及平行四边形的性质等知识．此题综合性很强，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．