Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，I是内心，BI的延长线交AC于点D，过A、B、D三点作⊙O交BC于E点．
求证：BC=BD+AD．

Answer 1

证明：如图，连接DE 在△ABC中，
∵∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=40°
又∵I是内心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=20°
∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=60°
在⊙O中，∠A+∠BED=180°，
∴∠BED=180°-∠A=80°
∴∠BDE=180°-∠DBC-∠BED=80°，
∴∠BED=∠BDE，
∴BD=BE
又∵∠C=40°∠BED=80°，
∴∠CDE=∠BED-∠C=40°
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE
又∵∠ABD=∠DBC，
∴=，
∴AD=DE，
∴AD=CE
∴BC=BE+CE=BD+AD．
分析：连接DE 在△ABC中根据∠A=100°可求出∠ABC的度数，I是内心，根据BI平分∠ABC，可知∠ABD=∠DBC=∠ABC=20°故可得出∠ADB的度数，在⊙O中由内接四边形的性质可知∠A+∠BED=180°，故可得出∠BED的度数，进而可得出∠BDE的度数，即∠BED=∠BDE，BD=BE，由三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，
进而得出CE=DE，由∠ABD=∠DBC可知=，故AD=DE=CE，进而可得出结论．
点评：本题考查的是三角形的内切圆与内心．根据题意作出辅助线，构造出圆内接四边形是解答此题的关键．