Question

【题目】若将抛物线y＝mx2﹣x﹣m（m≠0）在直线x＝﹣1与直线x＝1之间的部分记作图象C，对于图象C上任意一点P（a，b）均有﹣1≤b≤1成立，则m的取值范围是___．

Answer 1

【答案】﹣≤m≤且m≠0.

【解析】

要使对于图象C上任意一点P（a，b）均有-1≤b≤1成立，只需在给定区域内，y的最大值都满足条件即可；分m＞0和m＜0两种情况讨论，当m＞0时，在分①当0＜＜1时，②当≥1时；当m＜0时再分①当-1＜＜0时，②当≤-1时，最后将解的情况综合．

解：y＝mx2﹣x﹣m （m≠0）的对称轴是x＝，

（1）当m＞0时，＞0，

①当0＜＜1时，即m＞，

此时当x＝﹣1时有最大值1；

此时当x＝时有最小值，

＝﹣1，

∴m＝，

②当≥1时，即0＜m≤，

此时当x＝﹣1时有最大值1；

此时当x＝1时有最小值﹣1；

∴0＜m≤；

（2）当m＜0时，＜0，

①当﹣1＜＜0时，即m＜，

此时当x＝时，y有最大值，

∴＝1，

∴m＝，

当x＝1时有最小值﹣1，

∴m＝，

②当≤﹣1时，即≤m＜0，

此时当x＝﹣1时有最大值1；

当x＝1时有最小值﹣1；

∴≤m＜0，

综上所述，≤m≤且m≠0.