Question

12．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：
（1）△BFO≌△DEO．
（2）四边形AFCE是矩形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，AD∥BC，得出∠OBF=∠ODE，由ASA证明△BFO≌△DEO即可；
（2）由全等三角形的性质得出OF=OE，证出四边形AFCE是平行四边形，再证出∠AFC=90°，即可得出四边形AFCE是矩形．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，AD∥BC，
∴∠OBF=∠ODE，
在△BFO和△DEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBF=∠ODE}&{\;}\\{OB=OD}&{\;}\\{∠BOF=∠DOE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BFO≌△DEO（ASA）；
（2）由（1）得：△BFO≌△DEO，
∴OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴四边形AFCE是矩形．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．