Question

如图，抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）k=

-3

，点A的坐标为

（-1，0）

，点B的坐标为

（3，0）

；
（2）设抛物线y=x²-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在直线BC下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设经过点A、B、C三点的圆是⊙P，请直接写出：它的半径长为

5

，圆心P的坐标为

（1，-1）

．

Answer 1

分析：（1）将C点的坐标代入解析式y=x²-2x+k，就可以求出k值，当y=0时就可以求出A、B的横坐标，从而求出A、B的坐标．
（2）由（1）的解析式可以求出M的坐标，作MG⊥x轴于G，四边形ABMC的面积=S_△AOC+S_{四边形OCMG}+S_△GMB，就可以求出四边形ABMC的面积；
（3）设出点D的坐标，作DH⊥x轴，则四边形ABDC的面积=S_△AOC+S_{四边形OCDH}+S_△HDB，表示出来，化为顶点式就可以求出其最值了．
（4）设出P的坐标，由圆的方程公式可以求出圆P的半径及P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²-2x+k经过点C（0，-3），
∴k=-3，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3，当y=0时，
∴x²-2x-3=0，解得：
x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）
故答案为：-3，（-1，0），（3，0）

（2）∵y=x²-2x-3，
∴y=（x-1）²-4，
∴M（1，-4），作MG⊥x轴，
∴MG=4，OG=1．
∵A（-1，0），C（0，-3），B（3，0），
∴OA=1，OC=3，GB=2，
∴S_{四边形ABMC}=S_△AOC+S_{四边形OCMG}+S_△GMB，
=

1×3

2

+

(3+4)×1

2

+

4×2

2

=5+4
=9


（3）设D（x，x²-2x-3），
∴OH=x，DH=2x+3-x²，HB=3-x
∴S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_{四边形OCDH}+S_△HDB，
=

3

2

+

(3+2x+3-x2)x

2

+

(3-x)(2x+3-x2)

2

=-

3

2

（x-

3

2

）²+

75

8

∴x=

3

2

时，S_{四边形ABDC}的最大值为

75

8

，
∴y=

9

4

-3-3=-

15

4

，
∴D（

3

2

，-

15

4

）


（4）P（1，-1），⊙P的半径为：

5

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了点的坐标，待定系数法求抛物线的解析式，多边形的面积，三角形的外接圆与外心．