【题目】如图,二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴的两个交点分别为A(1,0)、B(3,0),与y轴的交点为C.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)在x轴上方的二次函数图象上,是否存在一点E使得以B、C、E为顶点的三角形的面积为?若存在,求出点E坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+4x﹣3;(2)存在,
【解析】
(1)设交点式y=a(x﹣1)(x﹣3),化为一般式得到3a=﹣3,解得a=﹣1,从而得到抛物线解析式;
(2)先确定C(0,﹣3),作EF∥y轴交直线BC于F,如图,利用直线平移得到直线BC的解析式为y=x﹣3,设E(x,﹣x2+4x﹣3),则F(x,x﹣3),利用三角形面积公式得到S△BCE=EF3=﹣x2+x=,然后解方程求出x即可得到满足条件的E点坐标.
解:(1)抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣3),即y=ax2﹣4ax+3a,
∵3a=﹣3,解得a=﹣1,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x﹣3;
(2)存在.
当x=0时,y=﹣x2+4x﹣3=-3,
∴C(0,﹣3),
作EF∥y轴交直线BC于F,如图,
∵B(3,0),C(0,﹣3);
得直线BC的解析式为y=x﹣3,
设E(x,﹣x2+4x﹣3),则F(x,x﹣3),
∴EF=﹣x2+4x﹣3﹣(x﹣3)=﹣x2+3x,
∴S△BCE=EF3=﹣x2+x,
即﹣x2+x=,解得x1=,x2=
当x=时,y=﹣x2+4x﹣3=,此时E点坐标为(,),
当x=时,y=﹣x2+4x﹣3=,此时E点坐标为(,),
∵E在x轴上方,此情况不符合题意;
综上所述,E点坐标为(,).
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【题目】如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0,其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,利用一面院墙,用篱笆围成一个外形为矩形的花圃,花圃的面积为S平方米,平行于院墙的一边长为x米.
(1)若院墙可利用最大长度为10米,篱笆长为24米,花圃中间用一道篱笆间隔成两个小矩形,求S与x之间的函数关系;
(2)在(1)的条件下,若围成的花圃面积为45平方米,求AB的长;
(3)在(1)的条件下,能否围成面积比45平方米更大的花圃?请说明理由.
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【题目】已知某种产品的进价为每件40元,现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查发现,该产品每降价1元,每星期可多卖出20件,由于供货方的原因销量不得超过380件,设这种产品每件降价x元(x为整数),每星期的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)该产品销售价定为每件多少元时,每星期的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)该产品销售价在什么范围时,每星期的销售利润不低于6000元,请直接写出结果.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E,DF与线段AC相交于点F.
(1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;
(2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.
求证:BE+CF=AB.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,AC=6cm,BC=8cm.点M从点A出发,以每秒1cm的速度沿AC方向运动:同时点N从点C出发,以每秒2cm的速度沿CB方向运动,当点N到达点B时,点M同时停止运动.
(1)运动几秒时,△CMN的面积为8cm2?
(2)△CMN的面积能否等于12cm2?若能,求出运动时间:若不能,请说明理由.
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【题目】已知二次函数y=-x2+2x+3.
(1)求函数图像的顶点坐标,并画出这个函数的图像;
(2)根据图像,直接写出:
①当函数值y为正数时,自变量x的取值范围;
②当-2<x<2时,函数值y的取值范围;
③若经过点(0,k)且与x轴平行的直线l与y=-x2+2x+3的图像有公共点,求k的取值范围.
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【题目】如图,点O为正方形ABCD的中心,AD=1,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使BD=BF,连结DF交BE的延长线于点H,连结OH交DC于点G,连结HC.则以下四个结论中:OH∥BF;②OG:GH=2:1;③GH=;④∠CHF=2∠EBC;⑤CH2=HEHB.正确结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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