Question

3．探究：如图①，点A在直线MN上，点B在直线MN外，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥MN，交∠MAB的平分线AD于点C，连结BC，求证：BC⊥AD．
应用：如图②，点B在∠MAN内部，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥AM，交∠MAB的平分线AD于点C；作PE∥AN，交∠NAB的平分线AF于点E，连结BC、BE．若∠MAN=150°，则∠CBE的大小为105度．

Answer 1

分析 探究：根据角平分线的定义和平行线的性质得出∠PCA=∠PAC，根据等角对等边得出PC=PA，再得出PC=PB，利用三角形的内角和证明即可；
应用：根据探究中的证明得出∠BAC+∠BAE+∠CBA+∠ABE=180°，再由角平分线得出∠BAC+∠BAE=75°，最后得出答案即可．

解答 解：探究：∵PC∥MN，
∴∠PCA=∠MAC．
∵AD为∠MAB的平分线，
∴∠MAC=∠PAC．
∴∠PCA=∠PAC，
∴PC=PA．                   
∵PA=PB，
∴PC=PB，
∴∠B=∠BCP．
∵∠B+∠BCP+∠PCA+∠PAC=180°，
∴∠BCA=90°，
∴BC⊥AD；                                           
应用：∵∠MAB的平分线AD，∠NAB的平分线AF，∠MAN=150°，
∴∠BAC+∠BAE=75°，
∵∠BAC+∠BAE+∠CBA+∠ABE=180°，
∴∠CBE=∠CBA+∠ABE=180°-75°=105°
故答案为：105．

点评 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．