Question

13．为迎接2014年世界杯足球赛，某商家购进甲、乙两种纪念品．甲种纪念品的进货价y_甲（元/件）与进货数量x_甲（件）的关系如图所示． 
（1）求y_甲与x_甲的关系式；
（2）若商家购进甲种纪念品的数量x不少于145件，且甲种纪念品的进货价不低于120元/件，则该商家有几种进货方案？
（3）该商家若购进甲、乙两种纪念品共200件，其中乙种纪念品的进货价y_乙（元/件）与进货数量x_乙（件）满足关系式y_乙=-0.1x_乙+130．商家分别以180元/件、150元/件出售甲、乙两种纪念品，并且全部售完．在（2）的条件下，购进甲种纪念品多少件时，所获总利润最大？最大利润是多少？（说明：本题不要求写出自变量x的取值范围）

Answer 1

分析 （1）设一次函数关系式为y_甲=kx_甲+b，把（10，148），（50，140）代入求出即可；
（2）根据题意得出-0.2x+150≥120和x≥145，求出即可；
（3）乙种纪念品的进货价为y_乙=-0.1（200-x）+130=0.1x+110，设总利润为p元，根据题意得出p=x（180-y_甲）+（200-x）（150-y_乙），代入求出最值即可．

解答 解：（1）设一次函数关系式为y_甲=kx_甲+b，由图象可得：$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=148}\\{50k+b=140}\end{array}\right.$，
解得：k=-0.2，b=150，
所求的关系式是：y_甲=-0.2x_甲+150；

（2）依题意得：-0.2x+150≥120，
解得：x≤150，
∵x≥145，
∴145≤x≤150，
∵x是正整数，
∴x=145，146，147，148，149，150，
答：共有六种进货方案；

（3）由题意得，乙种纪念品的进货价为：y_乙=-0.1（200-x）+130=0.1x+110，
设总利润为p元，
p=x（180-y_甲）+（200-x）（150-y_乙）
=x（0.2x+30）+（200-x）（40-0.1x）
=0.3x²-30x+8000，
x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-30}{2×0.3}$=50
∵a=0.3＞0，
∴当x≥50时，p随x的增大而增大．
又∵145≤x≤150
∴当x=150时，p_最大=10250元，
答：购进甲种纪念品150件时，所获总利润最大，为10250元．

点评 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的最值的应用，解此题的关键是能把实际问题转化成函数关系式，有一定的难度．