Question

【题目】在平行四边形ABCD中，P为对角线BD上任意一点，连接PA、PC，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：

① ② ③ ④

其中正确结论的序号是____________．（在横线上填上你认为所有正确答案的序号）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①正确；根据三角形的面积公式即可判断②③错误；根据已知进行变形，求出S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，即可判断④．

∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，
则S1=ABh1，S2=BCh2，S3=CDh3，S4=ADh4，
∵ABh1+CDh3=ABBC，BCh2+ADh4=ABCD，
∴S2+S4=S1+S3，故①正确；
根据S4＞S2只能判断h4＞h2，不能判断h3＞h1，即不能得出S3＞S1，∴②错误；
根据S3=2S1，能得出h3=2h1，不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，∴③错误；
∵S1-S2=S3-S4，
∴S1+S4= S2+S3=S平行四边形ABCD，
如图所示：

此时S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，
即P点一定在对角线BD上，∴④正确；
故选D．

“点睛”本题考查了矩形的性质，三角形的面积，以及矩形对角线上点的判定的应用，用矩形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．