Question

如图所示，已知AB⊥BC，BD⊥CD，AC=a，BC=b．试猜想BD与a，b之间满足怎样的关系时这两个三角形相似？并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：常规题型

分析：由AB⊥BC，BD⊥CD得到∠ABC=∠BDC=90°，再利用勾股定理计算出AB=

a2-b2

，根据直角三角形相似的判定方法，当

AB

BD

=

AC

BC

，Rt△ABC∽Rt△BDC；当

BC

BD

=

AC

BC

，Rt△ABC∽Rt△CDB，然后分别利用比例性质可表示出BD与a和b的关系．

解答：解：当BD=

b a2-b2

a

或BD=

b2

a

时，两个三角形相似．理由如下：
∵AB⊥BC，BD⊥CD，
∴∠ABC=∠BDC=90°，
在Rt△ABC中，∵AC=a，BC=b，
∴AB=

a2-b2

，
当

AB

BD

=

AC

BC

，即

a2-b2

BD

=

a

b

，Rt△ABC∽Rt△BDC，所以BD=

b a2-b2

a

；
当

BC

BD

=

AC

BC

，即

b

BD

=

a

b

，Rt△ABC∽Rt△CDB，所以BD=

b2

a

．

点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等的两个直角三角形相似．