Question

（1）△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图①根据勾股定理，则a²+b²=c²，若△ABC不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想a²+b²与c²的关系，并证明你的结论．

（2）利用（1）的结论解答如下问题：
锐角△ABC中，两边a=1，b=3，求第三边的变化范围．

Answer 1

解：（1）若△ABC是锐角三角形，则有a²+b²＞c²；若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a²+b²＜c²．理由如下：
当△ABC是锐角三角形时，如图②，
过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a-x，
根据勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，
即b²-x²=c²-a²+2ax-x²，
∴a²+b²=c²+2ax，
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0．
∴a²+b²＞c²；
当△ABC是钝角三角形时，如图③，
过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．
设CD为x，则有BD²=a²-x²
根据勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²．
即a²+b²+2bx=c²．
∵b＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a²+b²＜c²；

（2）由（1）知，若△ABC是锐角三角形，有a²+b²＞c²；
∵a=1，b=3，
∴c＜=，
又∵2＜c＜4，
∴2＜c＜．
分析：（1）图②中，△ABC是锐角三角形，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，根据AD不变由勾股定理得出等式b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，化简得出a²+b²＞c²；图③中，△ABC是钝角三角形，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为x，根据勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²．化简得出a²+b²＜c²；
（2）利用（1）的结论a²+b²＞c²以及三角形三边关系定理即可求解．
点评：本题考查了勾股定理的运用．通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．