Question

2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、C的坐标分别为（4，0），（0，2$\sqrt{3}$），直线y=-$\sqrt{3}$x+b与y轴交于点P．与边OA交于点D，与边BC交于点E．
（1）若直线y=-$\sqrt{3}$x+b平分矩形OABC的面积，求b的值；
（2）在（1）的条件下，当直线y=-$\sqrt{3}$x+b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M．问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，直接写出该点坐标；若不在边BC上，将（1）中的直线沿y轴平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上，直接写出该直线解析式．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质得出y=-$\sqrt{3}$x+b必经过线段OB的中点，即可确定出b；
（2）先利用角平分线的性质求出OG，再确定出OM即可得出点M坐标，即可得出结论；
（3）设出平移后的直线解析式，先确定出O'H=OC=2$\sqrt{3}$，从而确定出n，即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形OABC为矩形，点A、C的坐标分别为（4，0），（0，2$\sqrt{3}$），
∴B（4，2$\sqrt{3}$），
∴OB的中点坐标为（2，$\sqrt{3}$）
∵直线y=-$\sqrt{3}$x+b平分矩形OABC的面积，
∴直线y=-$\sqrt{3}$x+b必经过线段OB的中点，
∴$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$×2+b，
∴b=3$\sqrt{3}$，
（2）如图1，

当直线y=-$\sqrt{3}$x+b绕点P顺时针旋转和x轴负半轴相较于M，（如图1），
当直线y=-$\sqrt{3}$x+b绕点P顺时针旋转和x轴正半轴相较于M，（如图1'），
过点O作OG⊥PM，
∵C（0，2$\sqrt{3}$），
∴OC=2$\sqrt{3}$，
∵ON平分∠CNM，且OC⊥BC，OG⊥NM，
∴OG=OC=2$\sqrt{3}$，
由（1）知，点P（0，3$\sqrt{3}$），
∴OP=3$\sqrt{3}$，
∴sin∠OPM=$\frac{OG}{OP}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$，
在Rt△POM中，设OM=2a，则PM=3a，
∵OP=3$\sqrt{3}$，根据勾股定理得，PM²=OM²+OP²，
即：9a²=4a²+27，
∴a=-$\frac{3\sqrt{15}}{5}$（舍）或a=$\frac{3\sqrt{15}}{5}$，
∴OM=2a=$\frac{6\sqrt{15}}{5}$，
∴M（-$\frac{6\sqrt{15}}{5}$，0）或M（$\frac{6\sqrt{15}}{5}$，0），
∵直线PE解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
∴D（3，0），
∴DM=$\frac{6\sqrt{15}}{5}-3$或DM=3+$\frac{6\sqrt{15}}{5}$．
（3）如图2，

假设沿DE折叠点O落不在边BC上，那么直线DE向右平移n个单位点O刚好落在边BC上的点O'，得到直线D'E'，
∵直线DE解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，则直线D'E'解析式为y=-$\sqrt{3}$（x-n）+3$\sqrt{3}$，∠P'D'O=∠PDO=60°，
由折叠有，∠P'D'O'=∠P'D'O=60°，
∴∠O'D'H=60°，
过点O'作O'H⊥OA，
∵点O'在边BC上，
∴O'H=OC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△O'D'H中，O'D'=$\frac{O'H}{sin∠O'D'H}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4，
由折叠得，O'D'=OD'=4，
∴D'（4，0），
∴n=1，
∴直线D'E'解析式为y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，
∴直线DE和直线D'E'解析式不一样，
∴矩形OABC沿DE折叠，点O没落在边BC上，而沿直线D'E'解析式为y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$折叠，点O落在了边CB的延长线上．
即：沿直线D'E'解析式为y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$折叠，点O落在了边CB的延长线上．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质，平移的性质，解本题的关键是求出DM．