Question

7．已知二次函数的图象经过A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁≠x₂），若AB的中点是（p，0），AB的长度是2$\sqrt{{p}^{2}+4q}$，求二次函数的解析式．

Answer 1

分析 利用两点间的距离公式得到|x₁-x₂|=2$\sqrt{{p}^{2}+4q}$，两边平方后变形得到（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4p²+16q，再利用线段中点坐标公式得到x₁+x₂=2p，所以4p²-4x₁x₂=4p²+16q，整理得x₁x₂=-4q，然后利用交点式写出二次函数解析式．

解答 解：∵A（x₁，0）、B（x₂，0）
∴AB=|x₁-x₂|，
又∵AB的长度是2$\sqrt{{p}^{2}+4q}$，
∴|x₁-x₂|=2$\sqrt{{p}^{2}+4q}$，
两边平方得x₁²+x₂²-2x₁x₂=4p²+16q，
（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4p²+16q，
又∵AB的中点是（p，0），
∴x₁+x₂=2p，
∴4p²-4x₁x₂=4p²+16q，
∴x₁x₂=-4q，
∴二次函数解析式为y=x²-2px-4q．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．