Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AC延长线上一点，连结BD．将△BCD绕着点C顺时针旋转90°得到△ACE，延长AE交BD于F．

（1）依据题意补全图1；
（2）判断AE与BD的位置关系，说明理由；
（3）连结CF，求∠CFA的度数．
要想求出∠CFA的度数，小明经过思考，得到了以下几种想法：
想法1：在AF上取一点G，使得AG=BF，需要先证明△AGC≌△BFC，然后再证明△CFG是等腰直角三角形．
想法2：取AB的中点O，连接OC，OF，只需要利用圆的性质证明∠CFA=∠ABC．
想法3：将△ACF绕点C逆时针旋转90°，得到△BCG，只需证明△FCG是等腰直角三角形．
请你参考上面的想法，帮助小明求解．（写出一种方法即可）

Answer 1

分析 （1）根据题意补全图形即可；
（2）利用旋转的性质得出∠CAE=∠CBF，再利用同角的余角相等即可得出结论；
（3）想法1、利用SAS判断出△AGC≌△BFC即可得出结论；
想法2、利用OA=OB=OC=OF即可判断出点A，B，F，C四点在以O为圆心OA为半径的圆上即可得出结论；
想法3，利用旋转的性质判断出△FCG是等腰直角三角形即可得出结论．

解答 解：（1）补全图形如图1所示．
（2）∵将△BCD绕着点C顺时针旋转90°得到△ACE
∴△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠CBF．
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CEA=90°．
∴∠CBF+∠CEA=90°．
∵∠CEA=∠FEB，
∴∠CBF+∠FEB=90°．
∴AE⊥BD．

（3）想法1、如图2， 在AF上取一点G，使得AG=BF，连接CG．
∵AC=BC，∠CAE=∠CBF，AG=BF，
∴△AGC≌△BFC．
∴CG=CF，∠ACG=∠BCF．
∵∠ACG+∠GCE=90°，
∴∠FCG=∠BCF+∠GCE=90°．
∴△CFG是等腰直角三角形．
∴∠CFA=45°．

想法2、如图3，
取AB的中点O，连接OC，OF，CF，
∵△ABC是直角三角形，
∴OC=OA=OB=$\frac{1}{2}$AB，
由（2）知，AF⊥BD，
∴OF=OA=OB=$\frac{1}{2}$AB，
∴OA=OB=OC=OF，
∴点A，B，F，C在以O为圆心，OA为半径的圆上，
∴∠CFA=∠ABC=45°，

想法3、如图4，
将△ACF绕点C逆时针旋转90°得到△BCG，
∴∠FCG=∠ACB=90°，CG=CF，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∴∠CFG=45°，
由（1）△BCD≌△ACE，
∴点G在BD的延长线上，
由（2）知，∠AFD=90°，
∴∠CFA=45°．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆的性质，旋转的性质，解（2）的关键是判断出△BCD≌△ACE，解（3）的关键是作出辅助线，是一道中等难度的题目．