Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，DB⊥AB于B，点C是弧AB上的任一点，过点C作⊙O的切线交BD于点E．连接OE交⊙O于F．

(1)求证：CE＝ED；

(2)填空：

①当∠D＝　 　时，四边形OCEB是正方形；

②当∠D＝　 　时，四边形OACF是菱形．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)①45°；②30°

【解析】

（1）证明：连接OC，由CE为⊙O的切线，可得OC⊥CE，∠OCE＝90°，所以∠ACO+∠DCE＝90°，因为BD⊥AB，所以∠A+∠D＝90°，又OA＝OC，∠A＝∠OCA，所以∠D＝∠DCE，因此CE＝ED；

（2）①若四边形OCEB是正方形，则∠CEB＝90°，∠CED＝90°，因为CE＝ED，所以∠D＝∠DCE＝45°；

②若四边形OACF是菱形，则OA＝AC，又OA＝OC，于是△OAC为等边三角形，∠A＝60°，因为DB⊥AB，所以∠A+∠D＝90°，因此∠D＝30°．

解：（1）证明：连接OC，

∵CE为⊙O的切线，

OC⊥CE，

∴∠OCE＝90°，

∴∠ACO+∠DCE＝90°，

∵BD⊥AB，

∴∠ABD＝90°，

∴∠A+∠D＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠OCA，

∴∠D＝∠DCE，

∴CE＝ED；

（2）若四边形OCEB是正方形，

则∠CEB＝90°，

∴∠CED＝90°，

∵CE＝ED，

∴∠D＝∠DCE＝45°，

故答案为45°；

（3）若四边形OACF是菱形，

则OA＝AC，

∵OA＝OC，

∴△OAC为等边三角形，

∴∠A＝60°，

∵DB⊥AB，

∴∠A+∠D＝90°，

∴∠D＝90°﹣60°＝30°，

故答案为：30°．