【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=2,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE.将△CDE绕点C逆时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
①当α=0°时,=_______;
②当α=180°时,=______.
(2)拓展探究
试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.
(3)问题解决
△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时,求线段BD的长.
【答案】(1)①;②;(2)的大小没有变化,证明见解析;(3)BD的长为或.
【解析】
(1)①当α=0°时,在Rt△ABC中,由勾股定理,求出AC的值是多少;然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点,分别求出AE、BD的大小,即可求出的值是多少.
②α=180°时,可得AB∥DE,然后根据=,求出的值是多少即可.
(2)首先判断出∠ECA=∠DCB,再根据==,判断出△ECA∽△DCB,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案.
(3)分两种情形:①如图3﹣1中,当点E在AB的延长线上时,②如图3﹣2中,当点E在线段AB上时,分别求解即可.
解:(1)①当α=0°时,
∵Rt△ABC中,∠B=90°,
∴AC===2,
∵点D、E分别是边BC、AC的中点,
∴AE=AC=,BD=BC=1,
∴=.
②如图1中,
当α=180°时,
可得AB∥DE,
∵=,
∴==.
故答案为:①,②.
(2)如图2,
当0°≤α<360°时,的大小没有变化,
∵∠ECD=∠ACB,
∴∠ECA=∠DCB,
又∵==,
∴△ECA∽△DCB,
∴==..
(3)①如图3﹣1中,当点E在AB的延长线上时,
在Rt△BCE中,CE=,BC=2,
∴BE===1,
∴AE=AB+BE=5,
∵=,
∴BD==.
②如图3﹣2中,当点E在线段AB上时,
BE===1,AE=AB-BE =4﹣1=3,
∵=,
∴BD=,
综上所述,满足条件的BD的长为或.
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【题目】二次函数图象的顶点在原点O,经过点A(1,);点F(0,1)在y轴上.直线y=﹣1与y轴交于点H.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P是(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M,求证:FM平分∠OFP;
(3)当△FPM是等边三角形时,求P点的坐标.
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【题目】如图,已知△ABC,按如下步骤作图:
(1)以A圆心,AB长为半径画弧;
(2)以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;
(3)连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.
①四边形ABCD是中心对称图形;
②△ABC≌△ADC;
③AC⊥BD且BE=DE;
④BD平分∠ABC.
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
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【题目】借鉴我们已有的研究函数的经验,探索函数y=|x2﹣2x﹣3|﹣2图象和性质,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
y | … | 10 | m | ﹣2 | 1 | n | 1 | ﹣2 | 3 | 10 | … |
其中,m= ,n= ;
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出函数图象;
(3)观察函数图象:
①当方程|x2﹣2x﹣3|=b+2有且仅有两个不相等的实数根时,根据函数图象直接写出b的取值范围为 .
②在该平面直角坐标系中画出直线y=x+2的图象,根据图象直接写出该直线与函数y=|x2﹣2x﹣3|﹣2的交点横坐标为: (结果保留一位小数).
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,DB⊥AB于B,点C是弧AB上的任一点,过点C作⊙O的切线交BD于点E.连接OE交⊙O于F.
(1)求证:CE=ED;
(2)填空:
①当∠D= 时,四边形OCEB是正方形;
②当∠D= 时,四边形OACF是菱形.
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【题目】如图,在的正三角形的网格中,的三个顶点都在格点上.请按要求画图和计算:①仅用无刻度直尺;②保留作图痕迹.
(1)在图1中,画出的边上的中线.
(2)在图2中,求的值.
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【题目】如图,半径为3的⊙O分别与x轴,y轴交于A,D两点,⊙O上两个动点B,C,使∠BAC=45°恒成立,设△ABC的重心为G,则DG的最小值是_______.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且cosα=.下列结论:①△ADE∽△ACD;②当BD=6时,△ABD与△DCE全等;③△DCE为直角三角形时,BD为8;④0<CE≤6.4.其中正确的结论是________.(把你认为正确结论的序号都填上)
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