Question

【题目】如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝45°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是_______．

Answer 1

【答案】．

【解析】

连接AG并延长，交BC于点F，由三角形ABC的重心为G，可知F为BC的中点，再由垂径定理可知OF⊥BC，从而可求得OF的长；在AO上取点E，使AE=2EO，连接GE，可判定三角形AGE相似于三角形AFO，由相似三角形的性质列出比例式，求得GE的长，进而可得点E的坐标，利用勾股定理求出DE的长，根据G在以E为圆心，2为半径的圆上运动，可知DG的最小值为DE的长减去，计算即可.

解：连接AG并延长，交BC于点F.

∵△ABC的重心为G

∴F为BC的中点，

∴OF⊥BC，

∵∠BAC=45°

∴BOF=45°

∴OBF=45°

∴OF=BF=FC=

∵△ABC的重心为G，

∴AG=AF.

在AO上取点E，使AE=AO，连接GE，

∴E（1，0）

∵.

∴△AGE∽△AFO，

∴

∴GE=

∴G在以E为圆心，为半径的圆上运动

∴DE=

∴DG的最小值为．