【题目】如图,⊙为的外接圆,,过点的切线与的延长线交于点,交于点,.
(1)判断与的位置关系,并说明理由;
(2)若,求的长.
【答案】(1)OE∥BC.理由见解析;(2)
【解析】
(1)连接OC,根据已知条件可推出,进一步得出结论得以证明;
(2)根据(1)的结论可得出∠E=∠BCD,对应的正切值相等,可得出CE的值,进一步计算出OE的值,在Rt△AFO中,设OF=3x,则AF=4x,解出x的值,继而得出OF的值,从而可得出答案.
解:(1) OE∥BC.理由如下:
连接OC,
∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD,
∴∠OCE=90 ,
∴∠OCA+∠ECF=90,
∵OC=OA,
∴∠OCA=∠CAB.
又∵∠CAB=∠E,
∴∠OCA=∠E,
∴∠E+∠ECF=90,
∴∠EFC=180O-(∠E+∠ECF) =90.
∴∠EFC=∠ACB=90 ,
∴OE∥BC.
(2)由(1)知,OE∥BC,
∴∠E=∠BCD.
在Rt△OCE中,∵AB=12,
∴OC=6,
∵tanE=tan∠BCD=,
∴.
∴OE2=OC2+CE2=62+82,
∴OE=10
又由(1)知∠EFC =90,
∴∠AFO=90.
在Rt△AFO中,∵tanA =tanE=,
∴设OF=3x,则AF=4x.
∵OA2=OF2+AF2,即62=(3x)2+(4x)2,
解得:
∴,
∴.
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【题目】文化是一个国家、一个民族的灵魂,近年来,央视推出《中国诗词大会》、《中国成语大会》、《朗读者》、《经曲咏流传》等一系列文化栏目.为了解学生对这些栏目的喜爱情况,某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查,被调查的学生必须从《经曲咏流传》(记为A)、《中国诗词大会》(记为B)、《中国成语大会》(记为C)、《朗读者》(记为D)中选择自己最喜爱的一个栏目,也可以不选以上四类而写出一个自己最喜爱的其他文化栏目(这时记为E).根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据图中信息解答下列问题:
(1)在这项调查中,共调查了 名学生;
(2)最喜爱《朗读者》的学生有 名;
(3)扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为 ;
(4)选择“E”的学生中有2名女生,其余为男生,现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座谈,请直接写出:刚好选到一名男生和一名女生的概率为 .
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【题目】下列说法正确的是( )
A.掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子停止转动后,5点朝上是必然事件
B.审查书稿中有哪些学科性错误适合用抽样调查法
C.甲乙两人在相同条件下各射击10次,他们的成绩的平均数相同,方差分别是=0.4,=0.6,则甲的射击成绩较稳定
D.掷两枚质地均匀的硬币,“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为
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【题目】某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为32m的栅栏围成(如图所示).如果墙长16m,满足条件的花园面积能达到120m2吗?若能,求出此时BC的值;若不能,说明理由.
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【题目】解方程
(1)x2+1=3x
(2)(x﹣2)(x﹣3)=12
(3)(2x﹣3)2+x(2x﹣3)=0(因式分解法)
(4)2x2﹣4x﹣1=0(用配方法).
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【题目】如图,反比例函数的图象经过线段OA的端点A,O为原点,作AB⊥x轴于点B,点B的坐标为(2,0),tan∠AOB=.
(1)求k的值;
(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置,反比例函数的图象恰好经过DC的中点E,求直线AE的函数表达式;
(3)若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N,请你探索线段AN与线段ME的大小关系,写出你的结论并说明理由.
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【题目】如图,在△ACD中,∠ACD=90°,AC=b,CD=a,AD=c,点B在CD的延长线上
(1)求证:关于x的一元二次方程必有实数根
(2)当b=3,CB=5时.将线段AD绕点D顺时针旋转90°,得到线段DE,连接BE,则当a的值为多少时,线段BE的长最短,最短长度是多少?
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【题目】综合探究
已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于A,B两点(点B在点A右侧),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标;
(2)如图1,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),是否存在点P,使四边形PBOC的面积最大?若存在,求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,若点M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN=3时,直接写出点M的坐标.
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【题目】如图1,△ABC中,∠B=30°,点D在BA的延长线上,点E在BC边上,连接DE,交AC于点F.若∠EFC=60°,DE=2AC,求的值.某学习小组的同学经过思考,交流了自己的想法:
小明:“通过观察和度量,发现∠C与∠D存在某种数量关系”;
小强:“通过构造三角形,证明三角形相似,进而可以求得的值.
老师:如图2,将原题中“点D在BA的延长线上,点E在BC边上”改为“点D在AB边上,点E在BC的延长线上”,添加条件“BC=5,EC=4”,其它条件不变,可求出△BED的面积.
请回答:
(1)用等式表示∠C、∠D的数量关系并证明;
(2)求的值;
(3)△BDE的面积为 (直接写出答案).
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