【题目】如图,在△ACD中,∠ACD=90°,AC=b,CD=a,AD=c,点B在CD的延长线上
(1)求证:关于x的一元二次方程必有实数根
(2)当b=3,CB=5时.将线段AD绕点D顺时针旋转90°,得到线段DE,连接BE,则当a的值为多少时,线段BE的长最短,最短长度是多少?
【答案】(1)见解析;(2)当a=1时,线段BE最短,最短长度是
【解析】
(1)根据勾股定理得到,代入一元二次方程根的判别式得,即可得证;
(2)过E作EF⊥BC于F,根据余角的性质得到∠DEF=∠ADC,根据全等三角形的性质得到DF=AC=b=3,EF=CD,设CD=x,则,于是得出结论.
(1)证明: 在Rt△ACD中,由勾股定理得:,即
∴关于x的一元二次方程必有实数根
(2)过E作EF⊥BC于F,如图
∵∠C=∠ADE=90°
∴∠EFD=∠C=90°,∠FED+∠EDF=90°,∠EDF+∠ADC=90°
∴∠DEF=∠ADC
在△EDF和△DAC中
∴△EDF≌△DAC(AAS)
∴DF=AC=b=3,EF=CD
设CD=x,则
∴的最小值是2
∴当CD=1时,BE的最小值是
即当a=1时,线段BE最短,最短长度是
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上一点,点D是半圆的中点,连接CD交OB于点E,点F是AB延长线上一点,CF=EF.
(1)求证:FC是⊙O的切线;
(2)若CF=5,,求⊙O半径的长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1.点D在BC边上(不与B,C点重合),作∠ADE=45°,DE与AC交于点E.
(1)求证:△ABD ∽△DCE;
(2)设BD=x,请用含x的代数式表示AE;
(3)当BD=1时,求△ADE的面积.
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【题目】如图1,已知直线l:y=﹣x+2与y轴交于点A,抛物线y=(x﹣1)2+m也经过点A,其顶点为B,将该抛物线沿直线l平移使顶点B落在直线l的点D处,点D的横坐标n(n>1).
(1)求点B的坐标;
(2)平移后的抛物线可以表示为 (用含n的式子表示);
(3)若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,且点C的横坐标为a.
①请写出a与n的函数关系式.
②如图2,连接AC,CD,若∠ACD=90°,求a的值.
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【题目】在中,.
(1)如图①,点在斜边上,以点为圆心,长为半径的圆交于点,交于点,与边相切于点.求证:;
(2)在图②中作,使它满足以下条件:
①圆心在边上;②经过点;③与边相切.
(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)
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【题目】如图,小宋作出了边长为2的第一个正方形A1B1C1D1,算出了它的面积.然后分别取正方形A1B1C1D1四边的中点A2、B2、C2、D2作出了第二个正方形A2B2C2D2,算出了它的面积.用同样的方法,作出了第三个正方形A3B3C3D3,算出了它的面积…,由此可得,第六个正方形A6B6C6D6的面积是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A,B,C都在格点上.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.
(1)在正方形网格中,画出△AB′C′;
(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积.
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