Question

【题目】如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+m也经过点A，其顶点为B，将该抛物线沿直线l平移使顶点B落在直线l的点D处，点D的横坐标n（n＞1）．

（1）求点B的坐标；

（2）平移后的抛物线可以表示为　　（用含n的式子表示）；

（3）若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，且点C的横坐标为a．

①请写出a与n的函数关系式．

②如图2，连接AC，CD，若∠ACD=90°，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）B（1，1）；（2）y=（x﹣n）2+2﹣n．（3）a=；a=+1.

【解析】

1) 首先求得点A的坐标, 再求得点B的坐标, 用h表示出点D的坐标后代入直线的解析式即可验证答案。

(2) ①根据两种不同的表示形式得到m和h之间的函数关系即可。

②点C作y轴的垂线, 垂足为E, 过点D作DF⊥CE于点F, 证得△ACE~△CDF, 然后用m表示出点C和点D的坐标, 根据相似三角形的性质求得m的值即可。

解：（1）当x=0时候，y=﹣x+2=2，

∴A（0，2），

把A（0，2）代入y=（x﹣1）2+m，得1+m=2

∴m=1．

∴y=（x﹣1）2+1，

∴B（1，1）

（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2+1，

∵∵D（n，2﹣n），

∴则平移后抛物线的解析式为：y=（x﹣n）2+2﹣n．

故答案是：y=（x﹣n）2+2﹣n．

（3）①∵C是两个抛物线的交点，

∴点C的纵坐标可以表示为：

（a﹣1）2+1或（a﹣n）2﹣n+2

由题意得（a﹣1）2+1=（a﹣n）2﹣n+2，

整理得2an﹣2a=n2﹣n

∵n＞1

∴a==．

②过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=∠CDF

又∵∠AEC=∠DFC

∴△ACE∽△CDF

∴=．

又∵C（a，a2﹣2a+2），D（2a，2﹣2a），

∴AE=a2﹣2a，DF=m2，CE=CF=a

∴=

∴a2﹣2a=1

解得：a=±+1

∵n＞1

∴a=＞

∴a=+1