Question

2．已知A（0，4）、B（6，2）表示两个村庄的位置，x轴表示公路的位置，请你在x轴上求一点P，使得AP+BP最小．
（1）求P点坐标．
（2）求PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出点A关于x轴的对称点A′的坐标，连接A′B交x轴于P，此时PA+PB最小，用待定系数法求出直线A′B的解析式，然后求出直线与x轴的交点即可；
（2）过点B作BC⊥OA，在直角三角形BCA′中利用勾股定理求出A′B的长即可．

解答 解：∵A（0，4），
∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（0，-4），
∵A′（0，-4），B（6，2），
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=6k+b}\\{-4=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为y=x-4，
当y=0时，x=4．
∴P（4，0）；
（2）过点B作BC⊥OA，
∵点B（6，2），
∴CO=2，BC=6，
∴CA′=6，
∴A′B=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题以及勾股定理的运用，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．