Question

10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在坐标轴上，OA=2，OC=3，OB=4．点E，F分别是线段AB，BC上的动点（不与端点A，B重合），点E从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点F从点B出发沿线段BC方向以每秒1个单位长度的速度向点C运动（当点E停止时，点F也同时停止），当两个动点运动了t秒时，解答下列问题：
（1）求点F的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，△BEF与△BAC相似：
（3）当t为何值时，△BEF的面积最大？并求出此时点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出BC的长，根据FG⊥OB，CO⊥AB，得到FG∥OC，根据平行线的性质得到$\frac{FG}{OC}$=$\frac{BG}{OB}$=$\frac{BF}{BC}$，代入数据计算即可；
（2）分△BEF∽△BAC和△BEF∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可；
（3）根据三角形面积公式得到二次函数解析式，根据二次函数的性质求出函数有最大值时t的值，得到此时点F的坐标．

解答 解：（1）作FG⊥OB于G，
∵OC=3，OB=4，
由勾股定理得，BC=5，
由题意得，BF=t，
∵FG⊥OB，CO⊥AB，
∴FG∥OC，
∴$\frac{FG}{OC}$=$\frac{BG}{OB}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{t}{5}$，
∴FG=$\frac{3}{5}$t，BG=$\frac{4}{5}$t，
则OG=4-$\frac{4}{5}$t，
∴点F的坐标为（4-$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t）；
（2）当△BEF∽△BAC，
$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{BC}$，即$\frac{6-2t}{6}$=$\frac{t}{5}$，
解得，t=$\frac{15}{8}$；
当△BEF∽△BCA，
$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BF}{BA}$，即$\frac{6-2t}{5}$=$\frac{t}{6}$，
解得，t=$\frac{36}{17}$，
∴当t=$\frac{15}{8}$或$\frac{36}{17}$时，△BEF与△BAC相似；
（3）△BEF的面积=$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{3}{5}$t
=-$\frac{3}{5}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{20}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，△BEF的面积最大，
4-$\frac{4}{5}$t=$\frac{14}{5}$，$\frac{3}{5}$t=$\frac{9}{10}$，
∴此时点F的坐标为（$\frac{14}{5}$，$\frac{9}{10}$）．

点评 本题考查的是相似三角形的知识的综合运用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用以及分情况讨论思想的应用．