Question

20．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，AC=1，∠ACD=60°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 延长CD到E，使DE=BC，连接AE，过点A作AF⊥CD于点F，根据SAS可证明△ABC≌△ADE，得出AC=AE，再证明△ACE是等边三角形，求出高AF的值，由△ABC≌△ADE，得到S_{四边形ABCD}=S_△ACE=即可解答．

解答 解：如图，延长CD到E，使DE=BC，连接AE，过点A作AF⊥CD于点F，

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADE}\\{BC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AC=AE=1，∠BAC=∠DAE，
∵∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC=∠BAD=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∵∠ACD=60°，
∴AF=AC•sin60°=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ACE=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是作出辅助线，证明△ABC≌△ADE．