Question

10．如图，抛物线经过点A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）根据图象回答：
①当x取什么值时，y＞0？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？
（4）在这条抛物线上是否存在点P使以A、C、P为顶点的等腰三角形？若存在请写出符合条件的P点有多少个并写出其中一个点的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据抛物线上点的函数值为零时的点在x轴上，可得答案；
（3）①根据函数与不等式的关系，可得答案；
②根据y=ax²+bx+c，a＜0时，对称轴的右侧y随x的增大而减小，可得答案；
（4）根据等腰三角形的定义，可得PA=PC，AC=AP，AC=CP，根据线段的垂直平分线，可得PD的解析式，根据解方程组，可得答案．

解答 解：（1）设过点A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三点的解析式为：y=ax²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{a×{4}^{2}+4b+c=0}\\{a×{1}^{2}+b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为：y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2$．
（2）∵抛物线经过点A（4，0）、B（1，0），
∴抛物线与x轴的交点坐标为：（4，0），（1，0）．
（3）①根据图象可知当函数图象在B和A之间时，函数图象在x轴上方．
∵点A（4，0）、B（1，0），
∴1＜x＜4时，y＞0．
②由函数图象可知在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小．
∵y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2$的顶点的横坐标为：x=$-\frac{\frac{5}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}=\frac{5}{2}$，
∴x＞$\frac{5}{2}$时，y随x的增大而减小．
（4）在这条抛物线上存在点P使以A、C、P为顶点的等腰三角形，符合条件的点P有四个，其中一个的坐标为P₁（$\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，-6-$\sqrt{41}$）．
如下图一、二、三、四所示：
，
当AP=PC时，AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，AC的中点D（2，-1），
PD⊥AC于D，设PD的解析式为y=-2x+b，
将D点坐标代入，得-4+b=1，解得b=3，
PD的解析式为y=-2x+3，
联立PD与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{9+\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{1}=-6-\sqrt{41}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{9-\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{2}=\sqrt{41}-6}\end{array}\right.$，
P₁（$\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，-6-$\sqrt{41}$），P₂（$\frac{9-\sqrt{41}}{2}$，$\sqrt{41}$-6）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用函数值为零是抛物线与x轴的交点是解题关键，利用了函数与不等式的关系，二次函数的性质：a＜0时，对称轴的右侧y随x的增大而减小；等腰三角形的判定，联立PD与抛物线得出方程组是解题关键．