Question

15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是直线AC上的一点，EF⊥BE与BC交于点F．如图（1）当点E是AC中点时，易证BE²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE•BF；如图（2），当点E在线段AC上，点F在BC延长线上时，如图（3），当点E在AC延长线上，点F在BC延长线上时，BE、AE、BF具有何种数量关系，请写出你的猜想，并在图（2）（3）中选择一种情况进行证明．

Answer 1

分析 如图2，过E作ED⊥AB于D，根据等腰直角三角形的性质得到∠A=45°，根据勾股定理得到DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，由于∠DBE+∠EBC=∠EBC+∠F=90°，根据余角的性质得到∠DBE=∠F，推出△BDE∽△ECF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：猜想：BE²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE•BF；
证明：如图2，过E作ED⊥AB于D，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠A=45°，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=∠BDE=90°，
∵∠DBE+∠EBC=∠EBC+∠F=90°，
∴∠DBE=∠F，
∴△BDE∽△ECF，
∴$\frac{BE}{BF}=\frac{DE}{BE}$，
∴BE²=DE•BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE•BF．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．