Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，顶点为M且AO=0B=2，∠AOB=120°．
（1）连接OM，求∠AOM的大小；
（2）在x轴上是否存在点C，使△ABC与△AOM相似？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；根据解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案；
（2）分别根据当△ABC₁∽△AOM以及当△C₂BA∽△AOM时，利用相似三角形的性质求出C点坐标即可．

解答 解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOE=30°，
∴AE=1，EO=$\sqrt{3}$，
∴A点坐标为：（-1，$\sqrt{3}$），B点坐标为：（2，0），
将两点代入y=ax²+bx得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b=\sqrt{3}}\\{4a+2b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
∴抛物线的表达式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x
过点M作MF⊥OB于点F，
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-2x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²-2x+1-1）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴M点坐标为：（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴tan∠FOM=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°；

（2）满足条件的C点存在，求解过程如下：
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠ABO=∠OAB=30°，
∴AB=2EO=2$\sqrt{3}$，
①当△ABC₁∽△AOM时，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{MO}{B{C}_{1}}$，
∵MO=$\sqrt{F{O}^{2}+F{M}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{B{C}_{1}}$，
解得：BC₁=2，
∴OC₁=4，
∴C₁的坐标为：（4，0）；
②当△C₂AB∽△AOM时，
∴$\frac{B{C}_{2}}{AO}$=$\frac{AB}{MO}$，
∴$\frac{B{C}_{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$，
解得：BC₂=6，∴OC₂=8，
∴C₂的坐标为：（8，0）．
综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．

点评 此题主要考查了锐角三角函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的性质等知识，利用分类讨论思想以及数形结合得出是解题关键．